Jest możliwość wykonania kopii bazy danych z tabelami w języku rosyjskim zakodowanych w utf8_general_ci tak aby można było ją później wykorzystać? Próbowałem normalnie eksportować bazę to otrzymałem same znaki zapytania, z którymi później nic już nie mogę zrobić.

utf8_general_ci nie ma kompletnie nic do kodowania. Tak, Unicode wspiera rosyjską cyrylicę, więc widocznie gdzieś po drodze coś spieprzyłeś. Ewentualnie próbujesz odczytać to wykorzystując inne kodowanie.