Kolego zamiast Nazwiska w formie pisemnej powinieneś przesłać odpowiednią wartość z kolumny IDKlient, a w tym celu musisz zamienić linię 7 w powyższym listingu na coś takiego:
echo '<option value="'.$option['IDKlient'].'">'.$option['Nazwisko'].'</option>';
Póżniej tę zmienną odbierasz i z niej właśnie korzystasz w zapytaniu INSERT (
zapomnij w tym przypadku o złączeniach, bo one tutaj nie są potrzebne):
$IDKlient = $_POST['IDKlient'];
// ...
@ mysql_query("INSERT INTO Naprawa SET Data_dostarczenia='$Data_dostarczenia', Data_odbioru='$Data_odbioru', Opis_usterki='$Opis_usterki', Opis_naprawy='$Opis_naprawy', Koszt_czesci='$Koszt_czesci', Koszt_uslugi='$Koszt_uslugi', Klient_IDKlient=$IDKlient");
Są to absolutne podstawy, dlatego powinieneś sięgnąć do jakiegoś kursu PHP + MySQL.
PS: Oczywiście powyższy kod pod względem bezpieczeństwa pozostawia wiele do życzenia.