Opcja "zapamiętaj mnie" polega na tym że w pliku cookie zapisujesz dłuższy czas jego ważności, np 3 miesiące lub rok
if ($remember==1) //użytkownik zaznaczył "zapamiętaj mnie"
$time = time() + 60
*60
*24
*30
*12; //cookie ważne rok else
$time = 0; //cookie jest usuwane po zamknięciu przeglądarki
Oczywiście nazwa i wartość cookie są przykładowe.
Za to samo logowanie można zrealizować w ten sposób, że zapisujesz dwa pliki cookie. Pierwszy to ID użytkownika z bazy, drugi to zaszyfrowana za pomocą algorytmu md5 kombinacja hasła+ID+jakiś ciąg znaków
$user_id = 1; //unikalny ID użytkownika z bazy
$string = "jakis_tekst"; //dowolny ciąg znaków
$uniq = md5($user_id.$haslo.$string);
Po każdym wyświetleniu strony pobierasz dane z bazy dla użytkownika $user_id i porównujesz hasło z tym co ma w cookie (przeprowadzając oczywiście operacje jak wyżej czyli md5 itd)
Do kontroli całego mechanizmu logowania zaleca się korzystanie z sesji PHP
http://pl1.php.net/manual/en/book.session.php, które są bezpieczniejsze niż własne pliki cookie.