Czy warto stosować innerHTML? Czy jest wspierany przez przeglądarki? Czy jest zalecany przez twórców przeglądarek i W3C?

Pytanie dotyczy też np getElementById

Ciekawi mnie skąd pomysł, że jest przestarzały…?

Nie, nie jest. Tak samo jak getElementById.

Zapewne autorowi chodzi o to że częściej spotyka się z zapisem jQuery $('#foo) zamiast getElementById('foo'). Selector z jQuery jest swego rodzaju aliasem dla czystego JS, więc nie ważne jakiej biblioteki używasz i jak wygląda zapis pobierania elementu o danym ID zawsze wykonywane jest getElementById().

No tak nie bardzo… Sizzle, który jest w jQuery, dla większości selektorów wywoła document.querySelectorAll. Jedynie dla najprostszych użyje document.getElement(s)By*. A inne silniki nie sądzę, żeby się wgl w takie parsowanie bawiły, tylko od razu lecą do qSA.

Według dokumentacji dla #id wywoła getElementById.
W Slick chyba również nie poszli na łatwiznę.

A o Slicku totalnie zapomniałem… Mimo wszystko mootools jednak przebrzmiało.

No ale nie bardzo wiem o co chodzi…

Stwierdzenie, że dla #id zawsze ("nie ważne jakiej biblioteki używasz") zostanie wywołane getElementById jest fałszywe. Dowód? Moje BEMQuery

Czuję że szukasz dziury w całym ale rozumiem o czym mówisz. Tak jak napisałem, do pobierania elementu po ID znaczna większość z popularnych bibliotek użyje getElementById czy też innego "czystego" selektora. Uogólniłem trochę wypowiedź mając na myśli to że getElementById jest core funkcją czystego JS i wszelkie jQuery, Mootolusy itd korzystają właśnie z takich coreowych funkcji i dlatego nie są one przestarzałe (na razie, w PHP 5.5 z tego co pamiętam przestarzałe są np. ereg_replace czy key_exist).