Pobierasz offSetTop(lub coś w tym stylu takiego przycisku. Dodajesz do tego wysokość przycisku. Dajesz tam div 'a z wyszukiwarką który ma wartość display:none; Na przycisku dajesz onClick="pokazszukanie()". Ustawiasz id dia id="wyszukiwarka". Dajesz w JS funkcje pokazszukanie:
Kod
function pokaz(){
document.getElementById("wyszukiwarka").style.display = "display";
}
Ustawiasz mu oczywiście po tamtym offsecie pozycję absolute