Czy bazy danych można przenosić między serwerami? Np. zmieniam sobie hosting, przenoszę swój serwis i chcę przenieść bazy danych tego serwisu na inny serwer - jak to się robi?

Można.
Jeżeli używasz phpMyAdmina możesz wyeksportować strukturę i dane do pliku.
A potem importować na nowym serwerze.

i bez phpmyadmin da sie to zrobic, jednak trzeba miec dostep do shella LUB zwyczajnie poprosic o to administratorow poprzedniego (o eksport) i obecnego (o import) hostingu.

Wiekszosc programow obslugujacych bazy ma taki mechanizm zaimplementowany.