Jak skopiować pole kwota z serwera A do serwera B, ....baza1.tabela1.kwota do baza2.tabela2.kwota, przy czym baza1 znajduje się na serwerze A natomiast baza2 znajduje się na serwerze B.

export / import do pliku

kopiowanie plikow mi nie odpowiada, - czasozabawa . Chodzi mi o to aby za jednym kilknieciem dane z serwera A powinny przepłynac na serwer B

napisz więcej do jakich narzędzi chcesz się ograniczyć, bo to co napisałeś można wykonać na pierdyliard sposobów.
- kuriozalny: operator czyta rekord z bazy A i podaje go operatorowi bazy B, a ten wpisuje rekord do bazy
- zewnętrzny program sterujący (php, sh, python, java - cokolwiek) - połączenie z bazą A, odczytanie, połączenie z bazą B, zapisanie
- tylko mechanizmy mysql: będzie trochę zabawy, jeśli całość to replikacja, jeśli wskazany zakres danych to replikacja na pośrednią bazę C na serwerze B i trigery+procedury składowane

$db1 - klasa do relacji z bazą danych 1
$db2 - klasa do relacji z bazą danych 2

[SQL] pobierz, plaintext 
$db1->query("SELECT cos from cos");
$result = $db->result();
 
$db2->query("INSERT INTO cos SET column='".$result['cos']."'");
[SQL] pobierz, plaintext 

Rozumiem że nalezy wyciągnąć dane i wsadzić je do do drugiej bazy. Czy są może inne sposoby, takie jak triggery, lub relacje, które wykonywałyby sama baza (bazy) automatycznie bez potrzeby zaprzęgania PHP ?

Replikacja, ale wtedy albo sam musisz mieć dostęp do pliku my.ini (plik ustawień mysql'a), albo musisz mieć serwer w firmie która taką możliwość udostępnia. Wtedy możesz sobie kopiować co chcesz, kiedy chcesz bez używania np php.

Oczywiście zawsze można napisać to tak jak kolega wyżej zaproponował, a dany plik podłączyć pod cron'a i niech sprawdza co minutę czy zaszły jakieś zmiany. Opóźnienie będzie, ale to będzie tylko minuta. Jak nie możesz zarówno używać crona, jak i replikacji, to pozostaje ci jedynie sposób o którym kolega wyżej napisał. Tiggery działają tylko dla bazy w której je dodasz.