Check box może przesyłać kilka wartości dlatego jego nazwę zmień na:
<input type="checkbox" name="checkbox[]" value="pierwszy">
dodanie checkbox[] w nazwie działa tak samo jak dodanie danych do tablicy
$tablica[]="x";
dzięki temu uzyskasz tablicę numerowaną $_POST['checkbox']
i przeszukujesz jej wartości w poszukiwaniu wartości z atrybutu value np:
if(in_array('pierwszy', $_POST['checkbox'])){;}
jeśli nie dodasz [] w nazwie to do skryptu będzie przekazana jedynie ostatnia zaznaczona wartość.