Mam takie pytanie:

powiedzmy, że jest sobie klasa do obsługi zapytań MySQL (metody, np.: get_all($table), field($table,$field,$id)...., itp.)

Jak jest wydajniej:

- czy łączyć się i rozłączać z serverem mysql za każdym wywołaniem metody, np.

public function get_all($table);{
$this->db->connect();
....
mysql_close();
}

- czy może lepiej utworzyć połączenie zaraz na starcie, np. przed innnymi klasami i pozostawić je otwarte przez cały czas działania programu?

A jak chcesz kupić 20 produktów w sklepie to 20 razy chodzisz do sklepu po 1 produkt?

Skrypty PHP mają to do siebie, że wywołują się stosunkowo krótko, raczej nie ma skryptów które stałyby online przez nawet kilka minut, także raczej jest lepiej raz otworzyć na początku skryptu połączenie a później na końcu skryptu je zamykać.

Zawsze namawiam do korzystania z klasy PDO, zamiast funkcji mysql_*, gdyż ta klasa jest bardziej bezpieczna (jeśli się używa bindParam i bindValue zamiast wklejania parametrów do łańcuchów znakowych. Możesz również za jej pośrednictwem otworzyć więcej niezależnych połączeń (mysql_connect zastępuje poprzednie połączenia).

Się rozgadałem troszkę

Mylisz się.
http://pl.php.net/mysql_query i spójrz na drugi parametr.

A, mój błąd ale i tak namawiam do PDO (wygodniej tworzyć kilka połączeń )

To bezapelacyjnie jest już prawda