1. po pieresze nie masz nic przypisane do plik.php, no chyba, że chcesz się odwoływać do tego samego pliku z którego wysyłasz formularz
2. nigdzie nie masz "startu" funkcji assign
3. aby wypisać tekst możesz użyć innerHTML
Przerobiłem Twój skrypcik na coś takiego i działa

<script type="text/javascript" src="./js/advajax.js"></script> <script type="text/javascript"> function $(id){
return document.getElementById(id);
}
function start(){
advAJAX.assign($("karty"), {
onLoading : function(obj) { $("status").innerHTML= "Rzucam kośćmi..."; },
onSuccess : function(obj) { $("status").innerHTML = obj.responseText; }}
);
}
<form method="POST" id="karty" name="karty" action="plik.php" > Kwota:
<input type="text" name="kwota" /><br><br> Zaznacz czym obstawiasz:
<br><br><input type="radio" name="czym" value="punkty" /> Punkty - min. 1 pkt., max. 1000 pkt
<br><input type="radio" name="czym" value="zł" />Pieni
±dze - min. to 0.01 pln (1 gr), max. 1 pln
<br><br><img src="k1.png"><input type="radio" value="'.$kartaA.'" name="karta" /><img src="k2.png"> <input type="radio" value="'.$kartaB.'" name="karta" /><img src="k3.png"> <input type="radio" value="'.$kartaC.'" name="karta" /><img src="k4.png"> <input type="radio" value="'.$kartaD.'" name="karta" /><br><br></p> <input type="submit" value="Graj!" name="graj"></form>