Zrobiłem sobie skrypt, który pobiera mi obrazek, potem na ten obrazek nakładany jest napis.
W efekcie mam takie coś:

[PHP] pobierz, plaintext 
$generuj = '<div style="position:relative;width:'.$szerokosc_banneru.'px;height:'.$wysokosc_banneru.'px;"><img src="'.$banner.'" width="'.$szerokosc_banneru.'" height="'.$wysokosc_banneru.'"/><div style="'.$polozenie.'"><font color="'.$kolor.'" size="'.$wielkosc.'">'.$nick.'</font></div></div>';
[PHP] pobierz, plaintext 

Na stronie wszystko fajnie się generuje, ale chciałbym teraz taki utworzony obrazek zapisać.
Co zrobić, aby po kliknięciu na obrazek prawym przyciskiem myszy->Zapisz obrazek jako... można było zapisać ten wygenerowany obrazek. Obecnie jest tak, że wygeneruje się dobrze obrazek, ale gdy chciałbym go zapisać to zapisuje się oryginalny obrazek, taki, który nie jest przetwarzany przez PHP...

Oraz mam drugie pytanie. Jak utworzyć inputa, a po kliknięciu na niego wyświetla się okno pobrania obrazka na komputer?

Jedyna opcja jest prawdopodobnie zrobienie tego przez GD2 (przynajmniej po stronie PHP).
http://php.net/manual/en/book.image.php

Kod który ty podałeś nie generuje obrazka z napisem a jedynie umieszcza napis PONAD obrazkiem, jest to zasadnicza różnica, obraz źródłowy pozostaje cały czas taki sam, bez zmian.

Odpowiedź na drugie pytanie. Musisz przesłac odpowiedni nagłówek który poinformuje przeglądarkę iż jest to plik który mozna pobrać. Najlepiej zrób akcje w JS podpietą pod ten input który przekieruje uzytkownika na strone która zwróci odpowiedni nagłówek.
Ponownie, pomocny link:
http://www.ryboe.com/tutorials/php-headers-force-download

Jeżeli plik który chcesz wysłać nie istnieje (tworzysz go dynamicznie) możesz wysłać jego zawartość nawet zwykłym 'echo' to nie ma znaczenia.

Ewentualnie możesz poprostu podpiąć pod ten input akcje 'onclick' która przekieruje użytkownika na link do faktycznego pliku, nie musisz się wtedy martwić o żadne nagłówki w PHP.