Co trzeba włączyć w apache (wampserver) aby nie musieć korzystać z funkcji addslashes(), która dodaje znaki \ by zapisać cudzysłowia i apostrofy do bazy danych

Nie powiem ci, bo właśnie nalezy używać addslashes a konkretnie mysql_escape_string. To co ty chcesz zrobić to jedna z gorszych rzeczy jakie chcesz zrobić swojej aplikacji.

Powiem dlaczego chce to zrobić,
ponieważ gdy wrzucam stronę na serwer i z poziomu serwera z panelu admina próbuje dodać atrykuł, to wszystkie cudzysłowia i apostrofy mają dodany znak \.
Wygląda więc na to, że na serwerze jest coś dodane, dzięki czemu nie potrzebuje addslashes()

To trzeba było tak od razu, że ty to chcesz wyłączyć
magic_quotes

Hmm nie jestem pewien dokładnie, ale ja w swoim wampserverze miałem wyłączone magic_qotes, chyba że podświadomie zaraz po instalacji wyłączyłem i nawet tego faktu nie pamiętam