Mam obecnie przycisk "lubię to" tylko na stronie głównej, czyli jak ktoś to kliknie to lubi ogólnie całą stronę.
Chciałbym jednak dodać ten przycisk do konkretnych artrykułów, czyli żeby ktoś mógł polubić konkretny artykuł a nie całą stronę.

Czy na podstawie obecnie posiadanego przycisku mogę generować te nowe przyciski np. dodając w adresie tylko podstronę, czy wymaga to większych zabiegów?

Jeśli artykuły mają swoje odrębne adresy URL, to takie podstawiasz do przycisku.

Strona ma adres typu http://strona.pl, a artykuły: http://strona.pl/art.php?id=x.

Wstawiłem już ten przycisk z adresem podstrony. Niby można to kliknąć i licznik się zwiększa ale na tablicy osoby klikającej nie pojawia się wpis, że lubi ona ten link.