Chciałbym na swojej stronie zrobić formularz, w którym użytkownik wpisuje jakąś wartość, a to co wpisał automatycznie litera po literze pojawia się w innym miejscu strony. Problem w tym, że szukam od kilku godzin i nie mogę się natknąć na coś podobnego. Na http://www.appservnetwork.com/ajax/ też nie znalezłem.

Czy ktoś widział gdzieś podobny skrypt?

ajax służy do komunikowania się z serwerem w czasie rzeczywistym. do rozwiązania Twojego problemu wystarczy sam javascript.
do inputa dajesz zdarzenie onkeyup lub onkeydown, a w nim instrukcje, które dają wartość tego inputa do diva. proste

Jest dokładnie tak jak napisał ~gorden. Dodam, że musisz doczytać o:
- zdarzeniach - onkeydown/onkeyup/onkeypress
- DOM - getElementById
- referencjaDoElementu.value
- referencjaDoElementu.innerHTML

Podejrzewam, że jak w Google wpiszesz powyższe słowa kluczowe znajdziesz gotowca