Tak na szybko, więc nie gwarantuję, że działa

musisz sobie przeanalizować kod, dodałem Ci gdzieniegdzie komentarze, przerób go pod swoje oczekiwania
1. Dodaj sekcję z przyciskiem, który będzie inicjował funkcję, do strony ze szczegółami zamówienia
function order_details_shippment_button($post){ // Dodajemy przycisk do boxa
$title=__('APACZKA'); // nazwa przycisku wyświetlana m.in. po najechaniu kursorem
$name=__('Prześlij do APACZKA'); // tekst przycisku
$attr='class="button grant_access"'; // klasy CSS
$orderId=$post->ID; // numer zamówienia to ID specjalnego wpisu
$action='apaczka'; // dowolny tekst zwiększający bezpieczeństwo, wykorzystywany niżej
$nonce=wp_create_nonce($action); // WP Nonce, więcej w Codexie
$href=admin_url('admin-ajax.php?action=apaczka&post_id='.$orderId.'&nonce='.$nonce); // tworzymy adres przycisku
echo '<a id="apaczka" title="'.$title.'" href="'.$href.'" data-id="'.$orderId.'" data-nonce="'.$nonce.'" '.$attr.' style="width:100%; text-align:center; box-shadow:none;">'.$name.'</a>'; // przycisk }
function order_details_page_shippment(){ // Dodajemy nowy box do WooCommerce Order Page
add_meta_box('order_page_shippment', __( 'APACZKA'),'order_details_shippment_button','shop_order','side','high');
}
add_action('add_meta_boxes','order_details_page_shippment');
2. Uruchamiamy i obsługujemy AJAXa wykorzystując WordPressowe funkcje oraz przechwytujemy kliknięcie przycisku:
function ajax_scripts(){
global $pagenow; // bieżąca strona
if(!is_admin() || !in_array($pagenow,array('post.php'))){ return false; } // czy jesteśmy w panelu admina na stronie edycji
if(wp_script_is('jquery','done')){ // jeśli jQuery zostało już załadowane
?>
<script type="text/javascript">
jQuery(document).ready(function(){
jQuery("#apaczka").click(function(e){
e.preventDefault();
var el=jQuery(this);
var postId=el.data('id');
var nonceVal=el.data('nonce');
el.html('<span class="loader">...</span>');
jQuery.ajax({
url : '
<?php echo admin_url
('admin-ajax.php'); ?>',
type : 'post',
data : {
action : 'apaczka',
post_id : postId,
nonce : nonceVal
},
success : function(response){
el.html(response);
}
});
});
});
</script>
<?php
}
}
add_action('admin_head','ajax_scripts');
Jako loader możesz użyć sobie jednego z tych wykonanych w CSS3:
CSS Loaders wstawiając odpowiedni plik css za pomocą wp_enqueue_style, więcej informacji na ten temat znajdziesz łatwo w google (plik ze stylami umieścisz w katalgu pluginu, ale o tym później).
3. Główna funkcja wykonująca zadanie:
function apaczka_request(){
$error=true;
if(is_admin()){
if(isset($_REQUEST['post_id']) && isset($_REQUEST['nonce'])){
$orderId=$_REQUEST['post_id'];
$nonce=$_REQUEST['nonce'];
if(wp_verify_nonce($nonce,'apaczka')){ // tutaj drugi argument musi mieć taką samą wartość jak $action w kodzie 1!
$order=new WC_Order($orderId);
$tab=$order->get_formatted_shipping_address(); // lub get_formatted_billing_address()
$first_name=$order->billing_first_name;
$last_name=$order->billing_last_name;
$result=true; // do tej zmiennej przypisujesz funkcję, która zrobi to co potrzebujesz (przetworzy dane zamawiającego), funkcja powinna zwracać true jeśli sukces lub false w przeciwnym wypadku
if($result){ echo '<span style="color:green;">? '; _e
('Paczka została nadana prawidłowo'); echo '</span>'; $error=false; } }
}
}
if($error){ echo '<span style="color:red;">? '; _e
('Wystąpił błąd podczas nadawania paczki'); echo '</span>'; } }
add_action('wp_ajax_apaczka','apaczka_request');
add_action('wp_ajax_nopriv_apaczka','apaczka_request');
Zwróć uwagę co powinieneś przypisać do $result, wyciągnięcie pozostalych potrzebnych danych i dokończenie funkcji zostawiam już Tobie.
4. Najlepiej zrób z tego plugin, a w WP jest to bardzo proste, wystarczy że wszystkie powyższe kody połączysz w jeden plik, a na samym jego początku dodasz taki nagłówek:
<?php
/**
* Plugin Name: APACZKA
* Description: This is a plugin that allows us to integrate APACZKA with WooCommerce plugin
* Version: 1.0
* License: GPL2
*/
Możesz w nim wpisać wartości jakie chcesz. Zapisz całość np. jako "apaczka.php" i umieść w katalogu "apaczka". Na koniec umieść katalog "apaczka" w wp-content/plugins, przejdź do panelu admina i włącz swoją nową wtyczkę

Więcej o tworzeniu pluginów i ewentualnych rzeczach, które możesz sobie do niego dodać przeczytasz tutaj:
Writing a Plugin. Jeśli chociaż trochę znasz OOP możesz zrobić sobie z tego klasę. Generalnie nie będę się jakoś bardzo rozpisywał, ponieważ kod mówi sam za siebie, a wszystko można znaleźć w Codexie i Google