Chciałbym by użytkownik nie mógł odświeżać strony po jej wygenerowaniu.

Normalnie dałbym header('location: '), ale tym razem zależy mi na wygenerowanych danych, które użytkownik ma zamiar skopiować.

Teraz pytanie, czy odpytać bazę danych w celu sprawdzenia, czy już istnieją, czy jest inny sposób na to?

Możesz zrobić tak, aby wyświetlić stronę RAZ, a przy każdym następnym odświeżeniu pojawiła się pusta strona. Użytkownik może w każdej chwili wysłać zapytanie http do serwera i nic na to nie można poradzić.

Temat był miliony razy wałkowany na forum - radzę poszukać.

Co do twojego problemu - info o tym, czy użytkownik widział już te dane, czy nie, najlepiej oczywiście trzymać w bazie (ew w jakimś pliku).