Czy zawsze należy przypisywać zmiennej stan mysql_connect?, np.

$mysql_connect=mysql_connect(DB_HOST, DB_USER, DB_PASSWORD);

a później używanie go np. w mysql_select_db(DB_NAME, $mysql_connect);
mysql_close($mysql_connect);

czy jeśli pominę ten parametr i zdeklaruję mysql_select_db(DB_NAME) bez parametru połączenia,

czy stwarza to jakieś zagrożenie dla działania skryptu?

Nie musisz podawać identyfikatora połączenia. Domyślnie przyjmowany jest identyfikator ostatnio nawiązanego połączenia. Jeśli więc Twoja aplikacja korzysta z jednej bazy danych możesz pomijać identyfikator połączenia. Przydaje się on w sytuacji, gdy w jednym skrypcie łączysz się z kilkoma bazami danych - wówczas jawnie podajesz na której bazie (z wykorzystaniem którego połączenia) ma zostać wykonana dana operacja (np. wykonanie zapytania SQL).

Nie stwarza żadnego zagrożenia, aczkolwiek jeżeli kiedykolwiek będziesz chciał używać więcej niż 1 bazy jednocześnie (np. w specyficzny sposób połączyć ten skrypt z innym) możesz napotkać się na problemy.

W każdym razie tak to nic nie grozi

A jak z inicjowaniem i zamykaniem połączenia?

Dawniej w książkach pisali, żeby używać mysql_connet i close przy każdej funkcji pobierającej/modyfikującej/usuwającej dane?

Teraz podobno lepiej otworzyć połączenie na początku kodu i zamknąć, kiedy dane zostaną już pobrane?

Czy idąc do sklepu na zakupy kupujesz produkty pojedynczo (wchodzisz do sklepu, kupujesz, wychodzisz i tak kółko) czy kupujesz wszystko na raz?

Teraz lepiej korzystać z nowszych rozwiązań takich jak PDO.