Czy jest jakiś sensowny algorytm na generowanie równań kwadratowych tak aby x1 i x2 były liczbami całkowitymi ?

rozwiń co chcesz uzyskać.

Ja bym nie kombinował tylko napisał funkcję rozwiązującą równanie kwadratowe i przeleciał ją w trzech zagnieżdżonych pętlach po współczynnikach a, b,c w rozsądnych zakresach i zostawiał tylko kombinację dającą całkowite x1 i x2

A po kiego czorta rozwiązywać? Znasz wzorki? To czemu nie idziesz "od tyłu"? Znając rozwiązanie i wzory je obliczające masz drogę niemal równie prostą
x1 = (-b - sqrt(b*b - 4*a*c))/(2*a);
x2 = (-b + sqrt(b*b - 4*a*c))/(2*a);
z warunkiem:
b*b > 4*a*c
Pozostaje podstawiać x1 i x2 i się bawić, bo dostajesz układ 2 równań i nierówność z 3 niewiadomymi. Wystarczy, że za jedna z niewiadomych podstawisz dowolną liczbę i pozostałe sobie ładnie wyliczysz.

EDIT: Zapomniałem kompletnie o wzorach Viete'a...
x1 * x2 = c/a
x1 + x2 = -b/a

x1 i x2 masz... wybierz sobie jedynie jakąś liczbę a != 0 i masz układ banalny do rozwiązania

Wydawało mi się , że autorowi chodziło o równania książkowe czyli również z całkowitymi a,b,c

...chociaż jeśli "a" będzie całkowite to b i c też

narazie dzięki
zaraz pomyśle i zobaczymy co z tego wyjdzie

Refresh
Jednak sobie nie poradziłem.
Czy ktoś ma jakiś pomysł?

Szczerze? Nie wiem z czym masz problem... Wzorki Viete'a są banalne, masz więc zwykłe podstawienie i potem już zabawę w podstawianiu kolejnych liczba pod a oraz sprawdzanie czy wynik jest OK dla Twoich wymagań :/ Ja bym zrobił tak:
a) Pobieramy x1 i x2, przypuśćmy -3 i -1
b) x1*x2 = 3; x1+x2 = -4 więc podstawiamy - mamy 3 = c/a oraz -4 = -b/a ale możemy od razu przenieść a na drugą stronę, czyli 3*a = c i -4*a = -b
c) bierzemy sobie dowolne a ( ja wezmę 1) i podstawiamy 3 = c oraz -4 = -b, czyli c = 3 i b = 4. KONIEC
d) Można iść dalej i dać kilka dodatkowych warunków jak choćby to, ile równań ma być znalezionych. Jeśli chcesz ograniczyć ,b,c,x1,x2 jedynie do całkowitych to zrób sobie skakanie od 1 do wolnej liczby w zakresie Z = <-z, z> z pominięciem 0. To jak to zrobisz, zależy od Ciebie. Ja bym sobie zrobił poprzez skakanie z naprzemienną zmianą znaku na zasadzie: 1, -1, 2, -2, 3, -3 i wyjściem gdy dojdzie się do końca zakresu lub zostanie znaleziona określona liczba równań. Można też to olać, bo jeśli się przyjrzysz, to mając jedno rozwiązanie, możesz łatwo kolejne uzyskać. Równania kwadratowe się prosto skalują ;) Wystarczy wszystkie parametry pomnożyć przez tę samą liczbę. Jeśli więc masz tylko jedno rozwiązanie, masz od razu dla tej samej pary rozwiązań, nieskończenie wiele możliwości równań.
WERSJA OBLICZAJĄCA - PODSTAWOWA:

[PHP] pobierz, plaintext 
<?php
$a = 1;
$x1 = 3;
$x2 = -2;
$koniec = 3;
$answers = array('rozwiazania' => array('x1' =>$x1, 'x2' => $x2 ), 'wspolczynniki' => array()); //tablica odpowiedzi
while($a <= $koniec )
{
    $c = $a* ($x1*$x2);
    $b = -1*$a*($x1+$x2);
    $answers['wspolczynniki'][] = array('a' => $a, 'b' => $b, 'c' => $c);
    if($a > 0)
    {
        $a *= -1;
    }
    else
    {
        $a = -1*$a + 1;
    }
}
var_dump($answers);
?>
[PHP] pobierz, plaintext 

WERSJA OPTYMALIZOWANA:

[PHP] pobierz, plaintext 
<?php
$a = 1; // to zostawiamy... jest naszym licznikiem, ale i parametrem a
$x1 = 3; // jedno z rozwiązań
$x2 = -2; // drugie z rozwiązań
$koniec = 3; // tu sobie zrobiłem zakończenie, czyli zakres od współczynnika a od -3 do 3, włącznie
$answers = array('rozwiazania' => array('x1' =>$x1, 'x2' => $x2 ), 'wspolczynniki' => array()); // tablica odpowiedzi
//obliczenie rozwiązania dla 1
$c = $a* ($x1*$x2); // obliczenie c 
$b = -1*$a*($x1+$x2); //obliczenie b
$answers['wspolczynniki'][] = array('a' => $a, 'b' => $b, 'c' => $c); // wrzucenie pierwszego rozwiązania
$a = -1; // przestawienie a na wartość ujemną
while($a <= $koniec ) // można wykorzystać podatność równania kwadratowego na skalowanie jako optymalizację
{
	$answers['wspolczynniki'][] = array('a' => $answers['wspolczynniki'][0]['a']*$a, 'b' => $answers['wspolczynniki'][0]['b']*$a, 'c' => $answers['wspolczynniki'][0]['c']*$a); // proste wyliczenie kolejnych rozwiązań na podstawie współczynnika skalującego a i obliczonego pierwszego rozwiązania
	if($a > 0) // przestawianie na ujemną liczbę współczynnika a...
	{
		$a *= -1;
	}
	else // ... i przywracanie na dodatni gdy mamy ujemny
	{
		$a = -1*$a + 1;
	}
}
var_dump($answers); //odpowiedzi :)
?>
[PHP] pobierz, plaintext 

Weź sobie sam porównaj tablice z wynikami i powiedz, czy są identyczne :) Jak dla mnie - są.

Generuj, jak są błędy to popraw.

[PHP] pobierz, plaintext 
<?php
function r_kwadratowe($a,$x1,$x2){
                                   $m=-$a*($x1+$x2);
								   $n=$a*($x1*$x2);
                                   $funkcja='f(x)='.$a.'x_kwadrat';
								   if($m>0){$funkcja.='+'.$m.'x';}
								   if($m<0){$funkcja.=$m.'x';}
								   if($n>0){$funkcja.='+'.$n;}
								   if($n<0){$funkcja.=$n;}								   
                                   echo $funkcja;
                                 }	
//przykład 	 generowania	
for($i=1;$i<=10;$i++){						 
                     $a=rand(-20,25);					                      
                    $x1=rand(-20,25);
                     $x2=rand(-20,25);	
                   //	echo $a.'  '.$x1.'  '.$x2.'  ';				 
                    if($a<>0)  { r_kwadratowe($a,$x1,$x2);}
                            echo '<br>';
                    }
?>
 
[PHP] pobierz, plaintext 

dzięki