Wiem, że najlepiej jest dawać jak najmniejsze uprawnienia, użytkownikowi bazy danych, którego aplikacja używa do operacji na niej. Ale, jeżeli mam kilka typów uprawnień np. jedni użytkownicy mogą tylko przeglądać dane, a inni również je dodawać, edytować i usuwać. Czy w takim wypadku dobrze jest tworzyć kilku użytkowników bazy danych i wybierać jednego z nich do połączenia w zależności od osoby, używającej aplikację.

Bardzo zły pomysł.
Z perspektywy projektu to aplikacja sama w sobie jest użytkownikiem bazy danych. Powinieneś limitować dostęp do funkcji wewnątrz aplikacji a nie tasować użytkownikiem do połączenia z bazą.

W przypadku aplikacji webowych tak jak podawał mike w przypadku aplikacji desktopowych albo użycie pośrednika bądź webserviceów albo wielu użytkowników do bazy danych.

Ale podejrzewam, że chodzi Ci o kwestię strony więc nie ma najmniejszego sensu a wręcz zabije Ci skrypt na serwerach shared.