Dzięki error_reporting(E_ALL); ini_set('display_errors','1'); mogłem zobaczyć jakie są błędy....

Kod działa ok, ale bez zapamiętywania danych w formularzu.

[PHP] pobierz, plaintext 
<?php
      error_reporting(E_ALL);
      ini_set('display_errors','1');
 
  if (isset($_POST['submit'])) {
    $from = 'edward@zrobzemnieelvisa.com';
    $subject = $_POST['subject'];
    $text = $_POST['elvismail'];
    $output_form = false;
 
    if (empty($subject) && empty($text)) {
      // Wiadomo, że pola $subject i $text są puste.
      echo 'Nie podałeś tematu i treści wiadomości.<br />';
      $output_form = true;
    }
 
    if (empty($subject) && (!empty($text))) {
      echo 'Nie podałeś tematu wiadomości.<br />';
      $output_form = true;
    }
 
    if ((!empty($subject)) && empty($text)) {
      echo 'Nie podałeś treści wiadomości.<br />';
      $output_form = true;
    }
  }
  else {
    $output_form = true;
  }
 
  if ((!empty($subject)) && (!empty($text))) {
  $dbc = mysqli_connect('data.zrobzemnieelvisa.com', 'edward', 'theking', 'elvis_store')
    or die('Brak połączenia z serwerem MySQL.');
 
    $query = "SELECT * FROM email_list";
    $result = mysqli_query($dbc, $query)
      or die('Błąd w zapytaniu do bazy danych.');
 
    while ($row = mysqli_fetch_array($result)){
      $to = $row['email'];
      $first_name = $row['first_name'];
      $last_name = $row['last_name'];
      $msg = "Drogi $first_name $last_name,\n$text";
      mail($to, $subject, $msg, 'From:' . $from);
      echo 'Wysłano e-mail pod adres ' . $to . '<br />';
    } 
 
    mysqli_close($dbc);
  }
 
  if ($output_form) {
?>
[PHP] pobierz, plaintext 

[HTML] pobierz, plaintext 
 <form method="post" action="<?php echo $_SERVER['PHP_SELF']; ?>">
    <label for="subject">Temat wiadomości:</label><br />
    <input id="subject" name="subject" type="text" size="30" /><br />
    <label for="elvismail">Treść wiadomości:</label><br />
    <textarea id="elvismail" name="elvismail" rows="8" cols="40"></textarea><br />
    <input type="submit" name="submit" value="Wyślij" />
  </form>
[HTML] pobierz, plaintext 

[PHP] pobierz, plaintext 
}
[PHP] pobierz, plaintext 

Ale jak wpiszę:

[HTML] pobierz, plaintext 
<form method="post" action="<?php echo $_SERVER['PHP_SELF']; ?>">
 
    <label for="subject">Temat wiadomości:</label><br />
 
    <input id="subject" name="subject" type="text" value="<?php echo $subject; ?>" size="30" /><br />     line 70
 
    <label for="elvismail">Treść wiadomości:</label><br />    
 
    <textarea id="elvismail" name="elvismail" rows="8" cols="40"><?php echo $text; ?></textarea><br />   line 72
 
    <input type="submit" name="submit" value="Wyślij" />
 
  </form>
[HTML] pobierz, plaintext 

To pojawiają się komunikaty:
Notice: Undefined variable: subject in head first-projekty/rozdzial4/moj/sendemail.php on line 70

Notice: Undefined variable: text in /head first-projekty/rozdzial4/moj/sendemail.php on line 72

Czemu tak jest? Co oznaczają?

Używasz zmiennych, których nigdy nie zdefiniowałeś.
Bo jeśli są one zdefiniowane w warunku , to gdy ten nie jest spełniony = zmienne nie istnieją.
I właśnie o tym informuje Cię komunikat.

Zainicjuj je sobie przed warunkiem pustą wartością.

No zmienne nie istnieją. Wyraźnie masz to napisane.
Jesli nie wyslesz forma to nie zrobisz:
$subject = $_POST['subject'];
a jak tak nie zrobisz to zmienna $subject nie istnieje.

Undefined variable = niezdefiniowana zmienna. Zrób sobie na początku if, który sprawdza czy jest pusta wartość np $_POST['subject']. Jeśli tak to nadaj im początkową wartość, jeśli nie, to pokaż to co użytkownik wpisał.