Mamy sobie ADOdb. Włączam go do projektu i z projektem w programowaniu proceduralnym nie ma żadnego problemu jak korzystać z ADOdb, pytanie pojawia się: Jak połączyć klasę User z ADOdb tak aby wewnątrz User (w metodach tejże klasy) można było korzystać z metod Adodb (a więc korzystać w sposób rzeczywisty z MySQL'a)?

Ta twoja klase rozszerzyc o metode singletona. http://pl.php.net/singleton

Do klasy dodaj właściwość np. $ADO i w konstruktorze twórz objekt ADO: $this->ADO = NewADOConnection('mysql');
Wtedy możesz używać takiej konstrukcji: $this->ADO->Connect($server, $user, $pass, $db); , $this->ADO->Execute($sql); itd.