1. Sprawdź na przykład firebugiem używając tego konta czy czasem nie przesyłane są jakieś dziwne nagłówki dodatkowe - jak takie będą ustaw w curlu
2. Prześledź dokładnie całą ściężkę dostępu do wiadomości - tzn - jaki plik przekierowuje na co itd.. czy czasem czegoś nie pominąłeś
3. Sprawdź jakie cookie są ustawione przy normalnym uzyciu a jakie masz ustawione w pliku z cookie tworzonym przez curla

Aż sam sprawdziłem (DZIAŁA):
$c = curl_init();
curl_setopt($c, CURLOPT_URL, 'http://nazwaskrzynki.koszmail.pl');
curl_setopt($c, CURLOPT_USERAGENT,$_SERVER['HTTP_USER_AGENT']);
curl_setopt($c, CURLOPT_RETURNTRANSFER, 1);
curl_setopt($c, CURLOPT_FOLLOWLOCATION, 1);
curl_setopt($c, CURLOPT_COOKIEFILE, 'c:\xampp\htdocs\cookie.txt');
curl_setopt($c, CURLOPT_COOKIEJAR, 'c:\xampp\htdocs\cookie.txt');
$s = curl_exec($c);
curl_close($c);
preg_match('/<td onclick="goMailDetails\((.*)\)" title/', $s, $mailurl);
$c = curl_init();
curl_setopt($c, CURLOPT_URL, 'http://www.koszmail.pl/koszmail/mailBody.php?mail='.$mailurl[1]);
curl_setopt($c, CURLOPT_REFERER, 'http://www.koszmail.pl/koszmail/mailDetails.php?mail='.$mailurl[1]);
curl_setopt($c, CURLOPT_RETURNTRANSFER, 1);
curl_setopt($c, CURLOPT_USERAGENT,$_SERVER['HTTP_USER_AGENT']);
curl_setopt($c, CURLOPT_FOLLOWLOCATION, 1);
curl_setopt($c, CURLOPT_COOKIEFILE, 'c:\xampp\htdocs\cookie.txt');
curl_setopt($c, CURLOPT_COOKIEJAR, 'c:\xampp\htdocs\cookie.txt');
$s = curl_exec($c);
curl_close($c);
echo $s; // wyświetla treść email ;)
Ale sprawdź czy można tak robić - ja to zrobiłem wyłącznie w sprawach testowych

Dowiedz się czy nie mają nic przeciwko.