Samą bazę najprościej przeniesiesz za pomocą PHPMyAdmin.
Mam nadzieję, że masz do niego dostęp na obu serwerach.
Zaloguj się na serwerze na którym obecnie masz serwis, wybierz z listy rozwijanej (po lewej) bazę którą chcesz przenieść. Nastepnie po prawej stronie, w górnym menu masz coś takiego jak Eksport. Zaznacz wszystkie tabale (jest nawet przycisk/link "zaznacz wszystkie") i baza zostanie zapisana w pliku tekstowym na dysku, albo wyświetli się w oknie przeglądarki jako tekst (wtedy ctrl+c , ctrl+v do pliku tekstowego).
Teraz zaloguj się do phpMyAdmin na serwerze docelowym i wykonaj coś odwrotnego czyli import

(wcześniej musisz w głównym oknie stworzyć bazę , jest miejsce do wpisania jej nazwypodpisane "Utwórz nową bazę danych" )
W razie kłopotów szukaj tutoriali do phpMyAdmin

Pisze z pamieci więc nie wiem czy dokładnie tak nazywają się wszystkie opcje