Wiem, że mogę w JavieScript określać styl jakiegoś obiektu np.:

[HTML] pobierz, plaintext 
<script type="text/javascript">
<!--
thys.style.background='#EAEAEA';
//-->
</script>
[HTML] pobierz, plaintext 

Niestety jednak nie wiem czy jest możliwość określania w ten sam sposób zdarzenia najazdu myszki. Próbowałem w taki sposób:

[HTML] pobierz, plaintext 
<script type="text/javascript">
thys.onmouseover.bgColor='#D0DCE0';
//-->
</script>
[HTML] pobierz, plaintext 

Ale niestety nic mi z tego nie wyszło. Czy ktoś może wie jak można to rozwiązać?

Sobie popodstawiaj wg wzoru.

A co bym musiał zrobić, żeby w ten sam sposób jak podałem określić klasę css dla obiektu?

Skorzystaj z atrybutu className.